¿Qué es teorema de green?

El teorema de Green es un teorema fundamental en el cálculo vectorial que relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región encerrada por dicha curva. Es una generalización bidimensional del teorema fundamental del cálculo.

La formulación del teorema de Green establece que si C es una curva simple cerrada suave y orientada positivamente en el plano xy, y D es la región encerrada por C, y si F es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D, entonces:

∮C F · dr = ∬D (dQ/dx - dP/dy) dA

donde ∮C F · dr denota la integral de línea de F a lo largo de C, ∬D denota la integral doble sobre D, dQ/dx y dP/dy representan las derivadas parciales de las componentes Q y P de F con respecto a x e y, respectivamente, y dA representa un elemento de área en el plano xy.

En palabras simples, el teorema de Green establece que la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada es igual a la integral doble de la derivada parcial de una de las componentes del campo con respecto a x y la derivada parcial de la otra componente con respecto a y, sobre la región encerrada por la curva.

Este teorema tiene diversas aplicaciones en la física y las matemáticas, especialmente en el análisis de campos vectoriales, tales como campos de fuerzas, campos electromagnéticos y flujos de fluidos. También es una herramienta importante en el cálculo de áreas y volúmenes, así como en el estudio de curvas cerradas y superficies orientadas.